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==函数==
*反函数与原函数关于 y=x镜面对称
[[文件:f-1x.png|200px]]
*函数的复合
<math>f(x)=h(g(x))</math>可表示为 <math>f=hOg</math>，即f是g与h的复合。
*有理函数
<math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math>
*三角函数
余割：<math>csc(x)=\frac{1}{sin(x)}</math>
正割：<math>sec(x)=\frac{1}{cos(x)}</math>
余切：<math>cot(x)=\frac{1}{tan(x)}</math>
[[文件:astc.png|200px]]
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：
:<math>cos^2(x)+sin^2(x)=1</math>
“互余”：
:<math>三角函数(x)=co-三角函数(\frac{\pi}{2}-x)</math> ，如：
:<math>sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x), sec(x)=csc(\frac{\pi}{2}-x), tan(x)=cot(\frac{\pi}{2}-x)</math>
其他公式：
:<math>sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)</math>
:<math>cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)</math>

==极限导论==
三明治定理(又称作 夹逼定理)：如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.

==多项式==
立方差公式：<math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math>

==函数的导数==
乘积法则：
:<math>如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)</math>
:<math>如果 y=uvw，那么 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}</math>
商法则：
:<math>如果 h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，那么 h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}</math>
链式求导法则：
:<math>如果 h(x)=f(g(x))，那么 h'(x)=f'(g(x))g'(x)</math>

==三角函数==
三角函数关键公式：
<math>\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0</math>

<math>\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1</math>

==指数函数和对数函数==
如果<math>N=a^x</math>，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作<math>x=\log_{a}N</math>。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。
#特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
#称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
#零没有对数。
#在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

===对数法则===
...略
<math>\log_{b}(x^y)=ylog_{b}(x)</math>
<math>\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_b(c)}</math>

===复利极限===
令 <math>e = \lim_{h \to 0+}(1+h)^{1/h}</math>(e=2.718...)，则：
:<math>\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x</math> 和 <math>\lim_{h \to 0}(1+xh)^{1/h}=e^x</math>

===导数===
<math>\frac{d}{dx}\log_{b}(x)=\frac{1} {xln(b)}</math> 和 <math>\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)</math>

===指数增长/衰减方程===
<math>P(t)=P_0e^kt</math>，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

===双曲函数===
定义：
:<math>cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}} {2}, sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}} {2}</math>
有：
:<math>cosh^2(x)-sinh^2(x)=1</math>
:<math>\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)</math>
:<math>\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)</math>
曲线：
[[文件:sinh_cosh.png|300px]]

==最优化和线性化==

===线性化===
对于函数 <math>f</math> 在 <math>x</math> 上的值 <math>f(x)</math>，可以选取一个接近于 <math>x</math> 的 <math>a</math>(使得 <math>f(a)</math>可以轻易计算)，再对 <math>f</math>求导得出 <math>f'(x)</math>，则可利用线性化计算出 <math>f(x)</math>：
<math>f(x) \approx L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)</math>

误差方程：

<math>r(x)=f(x)-L(x)=\frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2</math>

取绝对值：

<math>|误差|=\frac{1}{2}|f''(c)||x-a|^2</math>

对 <math>|f''(c)|</math>取最大值 M：

<math>|误差|\le\frac{1}{2}M|x-a|^2</math>

===牛顿法===
对于某些函数 <math>f(x)</math>，我们想取其与 <math>x</math>轴交点，即 <math>f(x)=0</math>时对应的 <math>x</math>，直接计算非常困难，我们则可以尝试用牛顿法逼近：
:::[[文件:niudunfa.jpg|200px]]
:我们先取任意一点，如 <math>x_n</math>，然后计算出对应的 <math>f(x_n)</math>，然后应用线性化模拟 <math>f(x)</math>，取出对应线性函数与 <math>x</math>轴交点，有：
::<math>f(x_n)+(x_{n+1}-x_n)f'(x_n)=0</math>
:这样我们可以得到 <math>x_{n+1} = xn - \frac{f(x_n)}{f'(xn)}</math>
:一般情况下，<math>x_{n+1}</math> 对应的 <math>f(x_{n+1})</math> 是比 <math>f(x_n)</math>更接近于 0的，如此迭代，则能无限逼近 <math>f(x)=0</math>的解 <math>x</math>.

==洛必达法则==
如果<math>f(a)=g(a)=0</math>，则有 <math>\lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)}{g'(x)}</math>，假设等式右边的极限存在。

==积分==

求<math>\sum_{j=a}^b j</math>的值：
::::::我们知道  <math>\sum_{j=a}^b j</math> = <math>\sum_{j=a}^b (b-j+a)</math>，我们令其和为 S，则：
::::::<math>\sum_{j=a}^b j + \sum_{j=a}^b (b-j+a) = 2S</math>，而
::::::<math>\sum_{j=a}^b j + \sum_{j=a}^b (b-j+a) = a+b+(a+1)+(b-1)+...+j+(b-j+a)+...+b+a=\sum_{j=a}^b(a+b)=(a+b)(b-a)=2S</math>，即：
::::::<math>\sum_{j=a}^b j=\frac{(a+b)(a-b)}{2}</math>

===伸缩求和法===

求<math>\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)</math>的值：
::::::<math>\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+...+(n^2-(n-1)^2)=n^2-0^2</math>

这样的级数我们称为伸缩级数，有：
::::::<math>\sum_{j=a}^b(f(j)-f(j-1)) = f(b) - f(a-1) </math>

同样，对于 <math>\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)</math>，我们将 <math>(j^2-(j-1)^2)</math>进行分解，得到<math>2j-1</math>：
::::::<math>\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2) = \sum_{j=1}^n(2j-1) = 2\sum_{j=1}^{n}j-n</math>，代入伸缩级数求和的值 <math>n^2-0^2</math>，可以同样得出：
:::::::::::<math>\sum_{j=1}^{n}j = \frac{n^2-0^2+n}{2}=\frac{(n+1)n)}{2}</math>
类似地，可以得出：
::::::<math>\sum_{j=1}^{n}j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1))}{2}</math>

==微积分==
令<math>F(x)= \int_{a}^xf(t)dt</math>，有：

微积分第一基本定理：
::::::<math>F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^xf(t)dt=f(x)</math>
::::::*如此，在计算 <math>\int_{a}^xf(t)dt</math>时，由于 <math>F(x)= \int_{a}^xf(t)dt</math>，我们只要求出对应的 <math>F(x)</math>即可，而 <math>F'(x)=f(x)</math>，故只要思考得到什么函数的导数是<math>f(x)</math>，则可得到 <math>F(x)=G(x)+C</math>，再代入<math>F(a)=G(a)+C=0</math>即可求出常量 <math>C</math>。

微积分第二基本定理：
::::::<math>\int_{a}^bf(t)d(t)=F(b)-F(a)</math>

===不定积分===
::::::<math>&int;f(x)d(x)</math>表示函数<math>f(x)</math>的反导数集合，如果 <math>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</math>，则：
::::::::::::<math>&int;f(x)d(x) = F(x) + C</math>

===分部积分法===
::::::<math>&int;udv = uv - &int;vdu</math>

==反常积分==
===定义===
如果出现下面三种情况，积分 <math>\int_{a}^bf(x)dx</math>就是反常积分：
#函数<math>f(x)</math>在 <math>[a, b]</math>内是无界的
#<math>a=\infty</math>
#<math>b=-\infty</math>

===收敛or发散===
如果仅仅在 x接近于 a点该函数 f(x)是无界的，则定义：
::::::<math>\int_{a}^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx</math>
如果积分存在，我们说这个反常积分收敛，否则则为发散。

===无穷区间上的积分===
::::::<math>\int_{a}^\infty f(x)dx = \lim_{N \to \infty}\int_{a}^N f(x)dx</math>
::::::<math>\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{N \to -\infty}\int_{N}^b f(x)dx</math>

===极限比较判别法===
如果 <math>\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=1</math>，我们说当 <math>a \to b</math>时，<math>f(x)</math> 和 <math>g(x)</math> 是渐近等价的，即 <math>f(x) \sim g(x)</math>。

'''极限比较判别法''' 定义：
:如果 <math>a \to b</math>时 <math>f(x) \sim g(x)</math>，且这两个函数 [a,b]上没有其他瑕点了，那么积分 <math>\int_{a}^b f(x)dx</math> 与 <math>\int_{a}^b g(x)dx</math>是同时收敛或同时发散的。

===p判别法===
:*<math>\int_{}^\infty </math>的情况：对于任何有限值 <math>a > 0</math>，积分 <math>\int_{a}^\infty \frac{1}{x^p}dx</math>，在 <math>p>1</math> 时是收敛的，在 <math>p\le1</math>时是发散的。
:*<math>\int_{0}</math>的情况：对于任何有限值 <math>a > 0</math>，积分 <math>\int_{0}^a \frac{1}{x^p}dx</math>，在 <math>p<1</math> 时是收敛的，在 <math>p\ge1</math>时是发散的。

===绝对收敛判别法===
:如果<math>\int_{a}^b|f(x)|dx</math>是收敛的，那么 <math>\int_{a}^bf(x)dx</math>也是收敛的。