“微积分笔记”的版本间的差异 微积分笔记 0

2018年3月1日 (四) 10:31的版本

函数

• 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

• 函数的复合

$$f(x)=h(g(x))$$ 可表示为 $$f=hOg$$ ，即f是g与h的复合。

• 有理函数

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

• 三角函数

余割： $$csc(x)=\frac{1}{sin(x)}$$
正割： $$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$$
余切： $$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$$

三角函数

三角函数关键公式： $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$

指数函数和对数函数

如果 $$N=a^x$$ ，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 $$x=\log_{a}N$$ 。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
$$\log_{b}(x^y)=ylog_{b}(x)$$
$$\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_b(c)}$$

复利极限

令 $$e = \lim_{h \to 0+}(1+h)^{1/h}$$ (e=2.718...)，则：

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$$ 和 $$\lim_{h \to 0}(1+xh)^{1/h}=e^x$$

导数

$$\frac{d}{dx}\log_{b}(x)=\frac{1} {xln(b)}$$ 和 $$\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)$$

指数增长/衰减方程

$$P(t)=P_0e^kt$$ ，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

$$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}} {2}, sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}} {2}$$

有：

$$cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$$

$$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$$

$$\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$$

曲线：