微积分笔记
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函数
- 反函数与原函数关于 y=x镜面对称
- 函数的复合
[math]f(x)=h(g(x))[/math]可表示为 [math]f=hOg[/math]，即f是g与h的复合。
- 有理函数
[math]f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}[/math]
- 三角函数
余割：[math]csc(x)=\frac{1}{sin(x)}[/math]
正割：[math]sec(x)=\frac{1}{cos(x)}[/math]
余切：[math]cot(x)=\frac{1}{tan(x)}[/math]
勾股定理（毕达哥拉斯定理）：
- [math]cos^2(x)+sin^2(x)=1[/math]
“互余”：
- [math]三角函数(x)=co-三角函数(\frac{\pi}{2}-x)[/math] ，如：
- [math]sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x), sec(x)=csc(\frac{\pi}{2}-x), tan(x)=cot(\frac{\pi}{2}-x)[/math]
其他公式：
- [math]sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)[/math]
- [math]cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)[/math]
极限导论
三明治定理(又称作 夹逼定理)：如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.
多项式
立方差公式：[math]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/math]
函数的导数
乘积法则：
- [math]如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/math]
- [math]如果 y=uvw，那么 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx} ==三角函数== 三角函数关键公式：\lt math\gt \lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1[/math]
指数函数和对数函数
如果[math]N=a^x[/math]，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作[math]x=\log_{a}N[/math]。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。
- 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
- 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
- 零没有对数。
- 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。
对数法则
...略
[math]\log_{b}(x^y)=ylog_{b}(x)[/math]
[math]\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_b(c)}[/math]
复利极限
令 [math]e = \lim_{h \to 0+}(1+h)^{1/h}[/math](e=2.718...)，则：
- [math]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x[/math] 和 [math]\lim_{h \to 0}(1+xh)^{1/h}=e^x[/math]
导数
[math]\frac{d}{dx}\log_{b}(x)=\frac{1} {xln(b)}[/math] 和 [math]\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)[/math]
指数增长/衰减方程
[math]P(t)=P_0e^kt[/math]，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。
双曲函数
定义：
- [math]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}} {2}, sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}} {2}[/math]
有：
- [math]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/math]
- [math]\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)[/math]
- [math]\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)[/math]
曲线：
