微积分笔记

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2018年3月8日 (四) 16:40Hovercool讨论 | 贡献的版本

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函数

  • 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

F-1x.png

  • 函数的复合

f(x)=h(g(x))可表示为 f=hOg,即f是g与h的复合。

  • 有理函数

f(x)=p(x)q(x)

  • 三角函数

余割:csc(x)=1sin(x)
正割:sec(x)=1cos(x)
余切:cot(x)=1tan(x)
Astc.png
勾股定理(毕达哥拉斯定理):

cos2(x)+sin2(x)=1

“互余”:

(x)=co(π2x) ,如:
sin(x)=cos(π2x),sec(x)=csc(π2x),tan(x)=cot(π2x)

其他公式:

sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
cos(A+B)=cos(A)cos(B)sin(A)sin(B)

极限导论

三明治定理(又称作 夹逼定理):如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.

多项式

立方差公式:a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

函数的导数

乘积法则:

h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)
y=uvwdydx=dudxvw+udvdxw+uvdwdx

商法则:

h(x)=f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2

链式求导法则:

h(x)=f(g(x))h(x)=f(g(x))g(x)

三角函数

三角函数关键公式:
lim

指数函数和对数函数

如果,即a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数,x叫做“以a为底N的对数”。

  1. 特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lg。
  2. 称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为ln。
  3. 零没有对数。
  4. 在实数范围内,负数无对数; 在复数范围内,负数是有对数的。

对数法则

...略

复利极限

(e=2.718...),则:

导数

指数增长/衰减方程

,k为增长/衰减常数,k>0时为增长方程,相应地,k<0为衰减方程。

双曲函数

定义:

有:

曲线:
Sinh cosh.png

最优化和线性化

线性化

对于函数 上的值 ,可以选取一个接近于 (使得 可以轻易计算),再对 求导得出 ,则可利用线性化计算出

误差方程:

取绝对值:

取最大值 M:

牛顿法

对于某些函数 ,我们想取其与 轴交点,即 时对应的 ,直接计算非常困难,我们则可以尝试用牛顿法逼近:

Niudunfa.jpg
我们先取任意一点,如 ,然后计算出对应的 ,然后应用线性化模拟 ,取出对应线性函数与 轴交点,有:
这样我们可以得到
一般情况下, 对应的 是比 更接近于 0的,如此迭代,则能无限逼近 的解 .

积分

的值:

我们知道 = ,我们令其和为 S,则:
,而
,即:

伸缩求和法

的值:

这样的级数我们称为伸缩级数,有: