微积分笔记
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函数
- 反函数与原函数关于 y=x镜面对称
- 函数的复合
f(x)=h(g(x))可表示为 f=hOg,即f是g与h的复合。
- 有理函数
f(x)=p(x)q(x)
- 三角函数
余割:csc(x)=1sin(x)
正割:sec(x)=1cos(x)
余切:cot(x)=1tan(x)
勾股定理(毕达哥拉斯定理):
- cos2(x)+sin2(x)=1
“互余”:
- 三角函数(x)=co−三角函数(π2−x) ,如:
- sin(x)=cos(π2−x),sec(x)=csc(π2−x),tan(x)=cot(π2−x)
其他公式:
- sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
- cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B)
极限导论
三明治定理(又称作 夹逼定理):如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.
多项式
立方差公式:a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
函数的导数
乘积法则:
- 如果h(x)=f(x)g(x),那么h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
- 如果y=uvw,那么dydx=dudxvw+udvdxw+uvdwdx
商法则:
- 如果h(x)=f(x)g(x),那么h′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2
链式求导法则:
- 如果h(x)=f(g(x)),那么h′(x)=f′(g(x))g′(x)
三角函数
三角函数关键公式:
lim
指数函数和对数函数
如果,即a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数,x叫做“以a为底N的对数”。
- 特别地,我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lg。
- 称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为ln。
- 零没有对数。
- 在实数范围内,负数无对数; 在复数范围内,负数是有对数的。
对数法则
...略
复利极限
令 (e=2.718...),则:
- 和
导数
和
指数增长/衰减方程
,k为增长/衰减常数,k>0时为增长方程,相应地,k<0为衰减方程。
双曲函数
定义:
有:
最优化和线性化
线性化
对于函数 在 上的值 ,可以选取一个接近于 的 (使得 可以轻易计算),再对 求导得出 ,则可利用线性化计算出 :
误差方程:
取绝对值:
对 取最大值 M:
牛顿法
对于某些函数 ,我们想取其与 轴交点,即 时对应的 ,直接计算非常困难,我们则可以尝试用牛顿法逼近:
积分
求的值:
- 我们知道 = ,我们令其和为 S,则:
- ,而
- ,即:
伸缩求和法
求的值:
这样的级数我们称为伸缩级数,有: