微积分笔记 微积分笔记 0

函数

• 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

• 函数的复合

[math]f(x)=h(g(x))[/math]可表示为 [math]f=hOg[/math]，即f是g与h的复合。

• 有理函数

[math]f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}[/math]

• 三角函数

余割：[math]csc(x)=\frac{1}{sin(x)}[/math]
正割：[math]sec(x)=\frac{1}{cos(x)}[/math]
余切：[math]cot(x)=\frac{1}{tan(x)}[/math]

三角函数

三角函数关键公式：[math]\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1[/math]

指数函数和对数函数

如果[math]N=a^x[/math]，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作[math]x=\log_{a}N[/math]。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
[math]\log_{b}(x^y)=ylog_{b}(x)[/math]
[math]\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_b(c)}[/math]

复利极限

令 [math]e = \lim_{h \to 0+}(1+h)^{1/h}[/math](e=2.718...)，则：

[math]\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x[/math] 和 [math]\lim_{h \to 0}(1+xh)^{1/h}=e^x[/math]

导数

[math]\frac{d}{dx}\log_{b}(x)=\frac{1} {xln(b)}[/math] 和 [math]\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)[/math]

指数增长/衰减方程

[math]P(t)=P_0e^kt[/math]，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

[math]cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}} {2}, sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}} {2}[/math]

有：

[math]cosh^2(x)-sinh^2(x)=1[/math]

[math]\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)[/math]

[math]\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)[/math]

曲线：