微积分笔记 微积分笔记 0

函数

• 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

• 函数的复合

$$f(x)=h(g(x))$$ 可表示为 $$f=hOg$$ ，即f是g与h的复合。

• 有理函数

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$$

• 三角函数

余割： $$csc(x)=\frac{1}{sin(x)}$$
正割： $$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$$
余切： $$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$$

勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

$$cos^2(x)+sin^2(x)=1$$

“互余”：

$$三角函数(x)=co-三角函数(\frac{\pi}{2}-x)$$ ，如：

$$sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x), sec(x)=csc(\frac{\pi}{2}-x), tan(x)=cot(\frac{\pi}{2}-x)$$

其他公式：

$$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$$

$$cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$$

极限导论

三明治定理(又称作 夹逼定理)：如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.

多项式

立方差公式： $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

函数的导数

乘积法则：

$$如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

$$如果 y=uvw，那么 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}$$

商法则：

$$如果 h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，那么 h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

链式求导法则：

$$如果 h(x)=f(g(x))，那么 h'(x)=f'(g(x))g'(x)$$

三角函数

三角函数关键公式：
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos(x)}{x}=0$$

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$

指数函数和对数函数

如果 $$N=a^x$$ ，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作 $$x=\log_{a}N$$ 。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
$$\log_{b}(x^y)=ylog_{b}(x)$$
$$\log_b(x)=\frac{\log_c(x)}{\log_b(c)}$$

复利极限

令 $$e = \lim_{h \to 0+}(1+h)^{1/h}$$ (e=2.718...)，则：

$$\lim_{n \to \infty}(1+\frac{x}{n})^n=e^x$$ 和 $$\lim_{h \to 0}(1+xh)^{1/h}=e^x$$

导数

$$\frac{d}{dx}\log_{b}(x)=\frac{1} {xln(b)}$$ 和 $$\frac{d}{dx}(b^x)=b^xln(b)$$

指数增长/衰减方程

$$P(t)=P_0e^kt$$ ，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

$$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}} {2}, sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}} {2}$$

有：

$$cosh^2(x)-sinh^2(x)=1$$

$$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$$

$$\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$$

曲线：

最优化和线性化

线性化

对于函数 $$f$$ 在 $$x$$ 上的值 $$f(x)$$ ，可以选取一个接近于 $$x$$ 的 $$a$$ (使得 $$f(a)$$ 可以轻易计算)，再对 $$f$$ 求导得出 $$f'(x)$$ ，则可利用线性化计算出 $$f(x)$$ ：
$$f(x) \approx L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

误差方程：

$$r(x)=f(x)-L(x)=\frac{1}{2}f''(c)(x-a)^2$$

取绝对值：

$$|误差|=\frac{1}{2}|f''(c)||x-a|^2$$

对 $$|f''(c)|$$ 取最大值 M：

$$|误差|\le\frac{1}{2}M|x-a|^2$$

牛顿法

对于某些函数 $$f(x)$$ ，我们想取其与 $$x$$ 轴交点，即 $$f(x)=0$$ 时对应的 $$x$$ ，直接计算非常困难，我们则可以尝试用牛顿法逼近：

我们先取任意一点，如 $$x_n$$ ，然后计算出对应的 $$f(x_n)$$ ，然后应用线性化模拟 $$f(x)$$ ，取出对应线性函数与 $$x$$ 轴交点，有：

$$f(x_n)+(x_{n+1}-x_n)f'(x_n)=0$$

这样我们可以得到 $$x_{n+1} = xn - \frac{f(x_n)}{f'(xn)}$$

一般情况下， $$x_{n+1}$$ 对应的 $$f(x_{n+1})$$ 是比 $$f(x_n)$$ 更接近于 0的，如此迭代，则能无限逼近 $$f(x)=0$$ 的解 $$x$$ .

洛必达法则

如果 $$f(a)=g(a)=0$$ ，则有 $$\lim_{x \to a} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac {f'(x)}{g'(x)}$$ ，假设等式右边的极限存在。

积分

求 $$\sum_{j=a}^b j$$ 的值：

我们知道 $$\sum_{j=a}^b j$$ = $$\sum_{j=a}^b (b-j+a)$$ ，我们令其和为 S，则：

$$\sum_{j=a}^b j + \sum_{j=a}^b (b-j+a) = 2S$$ ，而

$$\sum_{j=a}^b j + \sum_{j=a}^b (b-j+a) = a+b+(a+1)+(b-1)+...+j+(b-j+a)+...+b+a=\sum_{j=a}^b(a+b)=(a+b)(b-a)=2S$$ ，即：

$$\sum_{j=a}^b j=\frac{(a+b)(a-b)}{2}$$

伸缩求和法

求 $$\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)$$ 的值：

$$\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+...+(n^2-(n-1)^2)=n^2-0^2$$

这样的级数我们称为伸缩级数，有：

$$\sum_{j=a}^b(f(j)-f(j-1)) = f(b) - f(a-1)$$

同样，对于 $$\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2)$$ ，我们将 $$(j^2-(j-1)^2)$$ 进行分解，得到 $$2j-1$$ ：

$$\sum_{j=1}^n(j^2-(j-1)^2) = \sum_{j=1}^n(2j-1) = 2\sum_{j=1}^{n}j-n$$ ，代入伸缩级数求和的值 $$n^2-0^2$$ ，可以同样得出：

$$\sum_{j=1}^{n}j = \frac{n^2-0^2+n}{2}=\frac{(n+1)n)}{2}$$

类似地，可以得出：

$$\sum_{j=1}^{n}j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1))}{2}$$

微积分

令 $$F(x)= \int_{a}^xf(t)dt$$ ，有：

微积分第一基本定理：

$$F'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^xf(t)dt=f(x)$$

• 如此，在计算 $$\int_{a}^xf(t)dt$$ 时，由于 $$F(x)= \int_{a}^xf(t)dt$$ ，我们只要求出对应的 $$F(x)$$ 即可，而 $$F'(x)=f(x)$$ ，故只要思考得到什么函数的导数是 $$f(x)$$ ，则可得到 $$F(x)=G(x)+C$$ ，再代入 $$F(a)=G(a)+C=0$$ 即可求出常量 $$C$$ 。

微积分第二基本定理：

$$\int_{a}^bf(t)d(t)=F(b)-F(a)$$

不定积分

$$∫f(x)d(x)$$ 表示函数 $$f(x)$$ 的反导数集合，如果 $$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$$ ，则：

$$∫f(x)d(x) = F(x) + C$$

分部积分法

$$∫udv = uv - ∫vdu$$

反常积分

定义

如果出现下面三种情况，积分 $$\int_{a}^bf(x)dx$$ 就是反常积分：

1. 函数 $$f(x)$$ 在 $$[a, b]$$ 内是无界的
2. $$a=\infty$$
3. $$b=-\infty$$

收敛or发散

如果仅仅在 x接近于 a点该函数 f(x)是无界的，则定义：

$$\int_{a}^bf(x)dx=\lim_{\varepsilon \to 0}\int_{a+\varepsilon}^bf(x)dx$$

如果积分存在，我们说这个反常积分收敛，否则则为发散。

无穷区间上的积分

$$\int_{a}^\infty f(x)dx = \lim_{N \to \infty}\int_{a}^N f(x)dx$$

$$\int_{-\infty}^b f(x)dx = \lim_{N \to -\infty}\int_{N}^b f(x)dx$$

极限比较判别法

如果 $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=1$$ ，我们说当 $$a \to b$$ 时， $$f(x)$$ 和 $$g(x)$$ 是渐近等价的，即 $$f(x) \sim g(x)$$ 。

极限比较判别法 定义：

如果 $$a \to b$$ 时 $$f(x) \sim g(x)$$ ，且这两个函数 [a,b]上没有其他瑕点了，那么积分 $$\int_{a}^b f(x)dx$$ 与 $$\int_{a}^b g(x)dx$$ 是同时收敛或同时发散的。

p判别法

• $$\int_{}^\infty$$ 的情况：对于任何有限值 $$a \gt 0$$ ，积分 $$\int_{a}^\infty \frac{1}{x^p}dx$$ ，在 $$p\gt 1$$ 时是收敛的，在 $$p\le1$$ 时是发散的。
• $$\int_{0}$$ 的情况：对于任何有限值 $$a \gt 0$$ ，积分 $$\int_{0}^a \frac{1}{x^p}dx$$ ，在 $$p\lt 1$$ 时是收敛的，在 $$p\ge1$$ 时是发散的。

绝对收敛判别法

如果 $$\int_{a}^b|f(x)|dx$$ 是收敛的，那么 $$\int_{a}^bf(x)dx$$ 也是收敛的。

复数

欧拉公式

$$x+iy=re^{iθ}$$