《概率论与数理统计》笔记 《概率论与数理统计》笔记 0

概率论与数理统计，是研究随机现象所具有的统计规律性的数学学科。

事件的概率

条件概率

A已发生的条件下，B的概率：

$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$

另有：

$$P(\bar{B}|A)=1-\frac{P(AB)}{P(A)}$$

乘法公式

$$P(AB)=P(B|A)P(A)$$

若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B相互独立。

随机变量

设随机试验的样本空间为 $$S$$ ，对于试验的每一个结果 $$w ∈ S$$ ， $$X$$ 都有一个指定的实数 $$X=X(w)$$ 与之对应，则称 $$X$$ 为随机变量。

离散型随机变量

设试验 $$E$$ 只有两个可能的结果 $$A$$ 和 $$\bar{A}$$ ，记 $$P(A)=p (0 \lt p \lt 1)$$ ，则称 $$E$$ 是一个伯努利试验。

二项分布

$$X$$ 是 $$n$$ 重伯努利试验中，事件 $$A$$ 发生的次数，则 $$X$$ 具有分布率（发生 $$k$$ 次）：

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, (k=0,1,2,3...n)$$

则称为 $$X$$ 服从以 $$n,p$$ 为参数的的二项分布，记为 $$X \sim B(n,p)$$ .

泊松(Poisson)分布

设随机变量 $$X$$ 的分布律为

$$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, (k=0,1,2,3,...)$$

其中 $$\lambda$$ 为常数，则称随机变量 $$X$$ 服从以 $$\lambda$$ 为参数的泊松分布，记为 $$X \sim \pi(\lambda)$$ .

连续型随机变量

设 $$X$$ 是随机变量，如果存在在整个实数轴上的可积函数 $$f(x)$$ ，满足：

(1) $$f(x)\ge0$$ , 其中 $$(-\infty\lt x\lt +\infty)$$

(2) $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)=1$$

(3) $$P\{a \le X \le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

则称 $$X$$ 是连续型随机变量，而 $$f(x)$$ 称为 $$X$$ 的概率密度函数，简称概率密度。

均匀分布

设连续型随机变量 $$X$$ 具有概率密码函数，

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &(a\lt x\lt b) \\ 0 &(其他) \end{cases}$$

则称 $$X$$ 在区间 $$(a, b)$$ 上服从均匀分布，记为 $$X \sim U(a, b)$$ .

指数分布

设连续型随机变量 $$X$$ 具有概率密码函数，

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{\frac {-x}{\beta}} &(x\gt 0) \\ 0 &(其他) \end{cases}$$

其中 $$\beta \gt 0$$ 为常数，则称 $$X$$ 服从以 $$\beta$$ 为参数的指数分布，记为 $$X \sim E(\beta)$$ .

正态分布/高斯分布

设连续型随机变量 $$X$$ 具有概率密码函数，

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} (-\infty\lt x\lt +\infty)$$

其中 $$u, \sigma$$ 为常数，则称 $$X$$ 服从以 $$u, \sigma$$ 为参数的正态分布，又称高斯分布，记为 $$X \sim N(u,\sigma^2)$$ .