“《概率论与数理统计》笔记”的版本间的差异
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==随机变量== | ==随机变量== | ||
+ | 设随机试验的样本空间为<math>S</math>,对于试验的每一个结果<math>w ∈ S</math>,<math>X</math>都有一个指定的实数<math>X=X(w)</math>与之对应,则称<math>X</math>为随机变量。 | ||
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+ | ===连续型随机变量=== | ||
设<math>X</math>是随机变量,如果存在在整个实数轴上的可积函数<math>f(x)</math>,满足: | 设<math>X</math>是随机变量,如果存在在整个实数轴上的可积函数<math>f(x)</math>,满足: | ||
:(1) <math>f(x)\ge0</math>, 其中<math>(-\infty<x<+\infty)</math> | :(1) <math>f(x)\ge0</math>, 其中<math>(-\infty<x<+\infty)</math> | ||
− | :(2) <math>\int_{-\infty} | + | :(2) <math>\int_{-\infty}{+\infty}f(x)=1</math> |
:(3) <math>P\{a \le X \le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx</math> | :(3) <math>P\{a \le X \le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx</math> | ||
则称<math>X</math>是连续型随机变量,而<math>f(x)</math>称为<math>X</math>的'''概率密度函数''',简称'''概率密度'''。 | 则称<math>X</math>是连续型随机变量,而<math>f(x)</math>称为<math>X</math>的'''概率密度函数''',简称'''概率密度'''。 | ||
− | ===均匀分布=== | + | ====均匀分布==== |
设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | 设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | ||
:::<math>f(x) = | :::<math>f(x) = | ||
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则称<math>X</math>在区间<math>(a, b)</math>上服从均匀分布,记为<math>X \sim U(a, b)</math>. | 则称<math>X</math>在区间<math>(a, b)</math>上服从均匀分布,记为<math>X \sim U(a, b)</math>. | ||
− | ===指数分布=== | + | ====指数分布==== |
设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | 设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | ||
:::<math>f(x) = | :::<math>f(x) = | ||
第40行: | 第44行: | ||
其中<math>\beta > 0</math>为常数,则称<math>X</math>服从以<math>\beta</math>为参数的指数分布,记为<math>X \sim E(\beta)</math>. | 其中<math>\beta > 0</math>为常数,则称<math>X</math>服从以<math>\beta</math>为参数的指数分布,记为<math>X \sim E(\beta)</math>. | ||
− | ===正态分布/高斯分布=== | + | ====正态分布/高斯分布==== |
设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | 设连续型随机变量<math>X</math>具有概率密码函数, | ||
:::<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} (-\infty<x<+\infty)</math> | :::<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} (-\infty<x<+\infty)</math> | ||
其中<math>u, \sigma</math>为常数,则称<math>X</math>服从以<math>u, \sigma</math>为参数的正态分布,又称高斯分布,记为<math>X \sim N(u,\sigma^2)</math>. | 其中<math>u, \sigma</math>为常数,则称<math>X</math>服从以<math>u, \sigma</math>为参数的正态分布,又称高斯分布,记为<math>X \sim N(u,\sigma^2)</math>. |
2018年3月22日 (四) 21:46的版本
概率论与数理统计,是研究随机现象所具有的统计规律性的数学学科。
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事件的概率
条件概率
A已发生的条件下,B的概率:
- P(B|A)=P(AB)P(A)
另有:
- P(ˉB|A)=1−P(AB)P(A)
乘法公式
- P(AB)=P(B|A)P(A)
- 若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A和事件B相互独立。
随机变量
设随机试验的样本空间为S,对于试验的每一个结果w∈S,X都有一个指定的实数X=X(w)与之对应,则称X为随机变量。
离散型随机变量
连续型随机变量
设X是随机变量,如果存在在整个实数轴上的可积函数f(x),满足:
- (1) f(x)≥0, 其中(−∞<x<+∞)
- (2) ∫−∞+∞f(x)=1
- (3) P{a≤X≤b}=∫baf(x)dx
则称X是连续型随机变量,而f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。
均匀分布
设连续型随机变量X具有概率密码函数,
- f(x)={1b−a(a<x<b)0(其他)
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X∼U(a,b).
指数分布
设连续型随机变量X具有概率密码函数,
- f(x)={1βe−xβ(x>0)0(其他)
其中β>0为常数,则称X服从以β为参数的指数分布,记为X∼E(β).
正态分布/高斯分布
设连续型随机变量X具有概率密码函数,
- f(x)=1√2πσe−(x−u)22σ2(−∞<x<+∞)
其中u,σ为常数,则称X服从以u,σ为参数的正态分布,又称高斯分布,记为X∼N(u,σ2).