《概率论与数理统计》笔记 《概率论与数理统计》笔记 0

概率论与数理统计，是研究随机现象所具有的统计规律性的数学学科。

事件的概率

条件概率

A已发生的条件下，B的概率：

[math]P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}[/math]

另有：

[math]P(\bar{B}|A)=1-\frac{P(AB)}{P(A)}[/math]

乘法公式

[math]P(AB)=P(B|A)P(A)[/math]

若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B相互独立。

随机变量

设随机试验的样本空间为[math]S[/math]，对于试验的每一个结果[math]w ∈ S[/math]，[math]X[/math]都有一个指定的实数[math]X=X(w)[/math]与之对应，则称[math]X[/math]为随机变量。

离散型随机变量

设试验[math]E[/math]只有两个可能的结果[math]A[/math]和[math]\bar{A}[/math]，记[math]P(A)=p (0 \lt p \lt 1)[/math]，则称[math]E[/math]是一个伯努利试验。

二项分布

[math]X[/math]是 [math]n[/math]重伯努利试验中，事件[math]A[/math]发生的次数，则[math]X[/math]具有分布率（发生[math]k[/math]次）：

[math]P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, (k=0,1,2,3...n)[/math]

则称为[math]X[/math]服从以[math]n,p[/math]为参数的的二项分布，记为[math]X \sim B(n,p)[/math].

泊松(Poisson)分布

设随机变量[math]X[/math]的分布律为

[math]P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}, (k=0,1,2,3,...)[/math]

其中[math]\lambda[/math]为常数，则称随机变量[math]X[/math]服从以[math]\lambda[/math]为参数的泊松分布，记为[math]X \sim \pi(\lambda)[/math].

连续型随机变量

设[math]X[/math]是随机变量，如果存在在整个实数轴上的可积函数[math]f(x)[/math]，满足：

(1) [math]f(x)\ge0[/math], 其中[math](-\infty\lt x\lt +\infty)[/math]

(2) [math]\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)=1[/math]

(3) [math]P\{a \le X \le b\}=\int_{a}^{b}f(x)dx[/math]

则称[math]X[/math]是连续型随机变量，而[math]f(x)[/math]称为[math]X[/math]的概率密度函数，简称概率密度。

均匀分布

设连续型随机变量[math]X[/math]具有概率密码函数，

[math]f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &(a\lt x\lt b) \\ 0 &(其他) \end{cases} [/math]

则称[math]X[/math]在区间[math](a, b)[/math]上服从均匀分布，记为[math]X \sim U(a, b)[/math].

指数分布

设连续型随机变量[math]X[/math]具有概率密码函数，

[math]f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{\frac {-x}{\beta}} &(x\gt 0) \\ 0 &(其他) \end{cases} [/math]

其中[math]\beta \gt 0[/math]为常数，则称[math]X[/math]服从以[math]\beta[/math]为参数的指数分布，记为[math]X \sim E(\beta)[/math].

正态分布/高斯分布

设连续型随机变量[math]X[/math]具有概率密码函数，

[math]f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-u)^2}{2\sigma^2}} (-\infty\lt x\lt +\infty)[/math]

其中[math]u, \sigma[/math]为常数，则称[math]X[/math]服从以[math]u, \sigma[/math]为参数的正态分布，又称高斯分布，记为[math]X \sim N(u,\sigma^2)[/math].